Interpolacja

Zmienne losowe.

ZMIENNE LOSOWE i ich ROZKŁADY
(wybrane zagadnienia)
• zmienne losowe (definicja, podział, oznaczenia)
• dystrybuanta, funkcja prawdopodobienstwa, funkcja gestosci
• wybrane parametry rozkładu zmiennej losowej
• standaryzacja zmiennej losowej
• wybrane rozkłady zmiennych losowych
(normalny, chi-kwadrat, t-Studenta)
• wykorzystanie tablic statystycznych (odczytywanie informacji)
Je1eli wartosci zmiennej (cechy) sa okreslone przez
przypadek (tzn. przyjmuje ona te wartosci z okreslonymi
prawdopodobienstwami), to mówimy, 1e zmienna ta jest
zmienna losowa.
Zmienne losowe dzielimy na:
• ciagłe; zmienna przyjmuje dowolne wartosci z okreslonego
przedziału (w szczególnosci cały zbiór liczb rzeczywistych)
• skokowe (dyskretne); zmienna przyjmuje dowolne
wartosci ze zbioru przeliczalnego (np. zbiór liczb całkowitych
z okreslonego przedziału)
Oznaczenia (analogicznie jak przy cechach statystycznych):
• du1e litery (X, T, U, ...) - zmienna losowa
• małe litery (x, t, u, ...) - wartosci zmiennej losowej
PRZYKŁAD
Rzucamy kostka szescienna do gry.
Liczba wyrzuconych oczek jest zmienna losowa (X).
Wynik ka1dego rzutu jest wartoscia tej zmiennej (x).
Zbiór wartosci zmiennej losowej jest nastepujacy: x { }.



PRZYKŁAD:
Jaka jest wartosc zmiennej losowej U:N(0;1), która spełnia warunek
P( U < ? ) 0,05
Jest to równowa1ne znalezieniu takiej liczby „?”, która spełnia warunek
( ? ) 0,05
W tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego N(0;1) na stronie [1] (w jej
czesci wewnetrznej) wyszukujemy wartosc najbli1sza liczbie 0,05 .
Na brzegach tablicy (boczek i główka tablicy) odczytujemy poszukiwana
wartosc zmiennej U.

Poszukiwana wartoscia zmiennej losowej U jest liczba –1,64 .
Spełnia ona warunek P( U < -1,64 ) 0,05 .
Zauwa1my jednoczesnie, 1e liczba przeciwna do niej (1,64) spełnia warunek
P( U < 1,64 ) = (1,64) 0,95 .
Oznacza to, 1e na mocy własnosci (b) ze s. 3 spełnia ona równie1 warunek
P( U > 1,64 ) 0,05
poniewa1 P( U > 1,64 ) = 1 - P( U < 1,64 ) = 1 – (1,64) ) 1 - 0,95 0,05 .
Więcej informacji: 
http://www.mm.pl/~mmiszczynski/index/Tomaszow/Statystyka/Wyklad8.pdf

Korelacja

Odpowiedź na pytanie co to jest korelacja zacznę od zadania pomocniczych pytań.
Czy pomiędzy zarobkami a wydatkami na lody istnieje jakiś związek?
Czy pomiędzy ceną lodów a tym ile ich kupuję istnieje jakiś związek?
Czy pomiędzy czasem poświęconym na naukę statystyki a oceną z kolokwium istnieje jakiś związek?
Przy odrobinie dobrej woli na wszystkie te pytania można odpowiedzieć twierdząco.
Tak istnieje związek. Im więcej zarabiam tym więcej mogę kupić lodów. Im mniej zarabiam tym (niestety) lodów mogę kupić mniej.
Tak istnieje związek. Im lody są droższe tym mniej ich kupuję. Im są tańsze tym kupuję ich więcej!
Tak istnieje związek. Gdy uczę się dużo mam dobrą ocenę. Gdy uczę się mało kolokwium jest niezaliczone.
Zatem między tymi parami cech (zarobki i wydatki na lody, cena lodów i ilość kupowanych przeze mnie lodów, czas nauki i ocena) istnieje związek. Taki związek nazywamy właśnie korelacją.
Korelacja (współzależność, współwystępowanie)  - czyli coś na coś wpływa, coś od czegoś zależy.
Mogą być trzy przypadki:
1. Między cechami występuje korelacja dodatnia.
2. Między cechami występuje korelacja ujemna.
3. Między cechami nie wystepuje korelacja.

Co to znaczy, że między cechami występuje korelacja dodatnia?

Weźmy przykład z zarobkami i wydatkami na lody. Im więcej zarabiam tym więcej mogę wydać na lody. Im mniej zarabiam tym mniej mogę wydać na lody. Zmiany wartości obu cech następują w tym samym kierunku. Albo obie rosną (zarobki i ilość kupowanych lodów rośnie) albo obie maleją (zarobki i ilość kupowanych lodów maleje).
Korelacja dodatnia oznacza, że wartości obu cech zmieniają się w tym samym kierunku (obie rosną bądź obie maleją).

Co to znaczy, że między cechami występuje korelacja ujemna?

Jeśli cena lodów rośnie kupuję ich mniej (jakby pudełko lodów kosztowało 1000zł w ogóle bym ich nie kupował).
Gdy cena lodów spada kupuję ich więcej (gdyby pudełko lodów kosztowało 1zł, codziennie na śniadanie jadłbym jedno - ze stratą dla mojej sylwetki no ale coś za coś…).
Zmiany wartości obu cech następują w przeciwnych kierunkach. Gdy wartości jednej cechy rosną (rośnie cena lodów), wartości drugiej cechy maleją (kupuję mniej lodów). I na odwrót. Gdy wartości jednej cechy maleją (maleje cena lodów), wartości drugiej cechy rosną (kupuję więcej lodów).
Korelacja ujemna oznacza, że wartości obu cech zmieniają się w przeciwnym kierunku (gdy jedna rośnie, druga maleje).

Co to znaczy, że między cechami nie występuje korelacja?

Czy pomiędzy moimi zarobkami a liczbą bocianów na łące istnieje jakiś związek?
Nie, nie ma związku. Moje zarobki nie wpływają na liczbę bocianów (no chyba, że bym je dokarmiał kupując żaby)  ani liczba bocianów nie wpływa na moje zarobki! Między tymi cechami nie ma związku - czyli nie ma korelacji!

W jaki sposób obliczyć korelację?

To, że między zarobkami a wydatkami na lody istnieje korelacja jest tylko przypuszczeniem (graniczącym z pewnością ale wciąż przypuszczeniem). Aby być tego pewnym musimy to… policzyć!
Jest wiele miar służących do wyliczania korelacji między badanymi cechami. Najpopularniejszymi z nich są:
1. Współczynnik korelacji liniowej Pearsona.
2. Współczynnik korelacji rang Spearmana.
3. Współczynnik zbieżności Czuprowa.
W kolejnych lekcjach na przykładach pokażę sposoby obliczania korelacji za pomocą tych trzech miar.
Literatura:
http://zsi.tech.us.edu.pl/~nowak/ed/korelacje.pdf 

Zadania:
http://www.wkuwanko.pl/ekonomia/ekonomia-korelacja---zadania_22_359.html 

Metody iteracyjne.

Metody iteracyjne

M.i. służą do przybliżonego rozwiązywania układów równań. Rozwiązanie otrzymuje się w wyniku pewnego postępowania sekwencyjnego, przy czym w każdym jego kroku uzyskuje się przybliżenie szukanego rozwiązania. Punktem wyjścia jest odgadnięte pierwsze przybliżenie niewiadomych H, np. H1 … Hn które można zapisać jako wektor «H«(⁰). Pierwszy krok algorytmu prowadzi do nowego wektora «H»(¹).Po k krokach otrzymuje się wektor «H»(^k) i następny krok prowadzi do «H»(^k+1). Aby iteracja miała sens, proces musi być zbieżny, to znaczy kolejne wyrazy ciągu «H»(^k) muszą zdążać do ścisłego rozwiązania wyjściowego układu równań, gdy k zdąża do nieskończoności. Do m.i. należą: → schemat jawny, → schemat uwikłany, → Cranka-Nicholsona schemat, → Jacobiego metoda, → Gaussa-Seidela metoda, → metoda zmiennych kierunków.[MR]  

Literatura 

http://hektor.umcs.lublin.pl/~beatas/met_iter.pdf

Przykłady:

Metoda Jacobiego

W metodzie tej układ równań liniowych:

A11X1 + A12X2 +...+ A1nXn = B1
A21X1 + A22X2 +...+ A2nXn = B2

Am1X1 + Am2X2 +...+ AmnXn = Bm

lub w postaci macierzowej
A x = b
Przekształcić należy do postaci:
X1 = G1 + H11X1 + H12X2 +...+ H1nXn
X2 = G2 + H21X1 + H22X2 +...+ H2nXn

Xn = Gn + Hn1X1 + Hn2X2 +...+ HnnXn

lub w notacji macierzowej
x = g + H x
gdzie:

Metoda Gaussa - Seidela

Metoda ta różni się od metody Jacobiego jedynie innym sposobem wyznaczania wektora x^(k). Element x^k₁ wyznacza się tak samo, jak w metodzie Jacobiego, pozostałe zaś elementy wektora x^(k)oblicza się korzystając zarówno z wartości wektora x^(k-1), jak i z wyznaczonych już elemtów wektora x^(k).
Wektor x^(k) wyznacza się w oparciu o wyrażenie

Przykłady

Przykład 1

Układ równań:

4X1 - x2 - x3 + 0 = 1
-X1 + 4X2 + X3 - X4 = 2
-X1 + 0X2 + 4X3 - x4 = 0
0X1 - X2 - X3 + 4X4 = 1

Rozwiązanie metodą Jacobiego:

KROK 1

• x₁ = 0,25

x₂ = 0,5

KROK 2

• x₁ = 0,375

Rozwiązanie metodą Gaussa - Seidela:

KROK 1

• x₁ = 0,25

KROK 2

• x₁ = 0,40625

Wynik

• x1 = 0,5
• x2 = 0,75
• x3 = 0,25
• x4 = 0,5

Przykład 2

Układ równań:

X1 + 0,5X2 + X3 + 0,2X4 = 5,2
0,1X1 + 3X2 + 0,2X3 + 0,4X4 = 7,1
0,3X1 + X2 + 2X3 + 2X3 + X4 = 9,3
X1 + 0,5X2 + 0,2X3 + 3X4 = 5,6

Rozwiązanie:

• x1 = 1
• x2 = 2
• x3 = 3
• x4 = 1

x₃ = 0

x₄ = 0,25

x₂ = 0,625

x₃ = 0,125

x₄ = 0,375

x₂ = 0,5625

x₃ = 0,0625

x₄ =0 ,40625

x₂ = 0,70312

x₃ = 0,20312

x₄ = 0,47656

Wielki Test

http://cieciura.net/krzyzowki/mp_test2/index.htm