Interpolacja

INTERPOLACJA

         Zadaniem interpolacji jest utworzenie funkcji, która przebiega przez zadane punkty. Stosuje się różne klasy funkcji do interpolowania – wielomiany algebraiczne, funkcje sklejane, funkcje trygonometryczne.

Zadanie interpolacji możemy sformułować następująco:

W przedziale [a,b] mamy danych n+1 różnych punktów x₀,x₁,...,x_n (węzły interpolacji) oraz wartości funkcji y=f(x) w tych punktach f(x₀)=y₀,f(x₁)=y₁,...,f(x_n)=y_n . Znaleźć funkcję F(x), która w węzłach interpolacji ma te same wartości co f(x) i przybliża f(x) w punktach.

I.                Interpolacja wielomianowa:

Twierdzenie

         Istnieje dokładnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia co najwyżej n (n³0), który w punktach x₀, x₁,...,x_n przyjmuje wartości y₀,y₁,...,y_n

Wzór Lagrange’a

x₀, x₁,...,x_n – zadany zbiór punktów

y₀,y₁,...,y_n  - zadane wartości funkcji w punktach

oznaczmy W_n+1=(x-x₀)(x-x₁)...(x-x_n)

 - jest to wzór interpolacyjny Lagrange’a, podstawiając do

niego zadane wartości otrzymujemy wzór wielomianu przechodzącego przez zadane punkty

II.             Interpolacja funkcjami sklejanymi

Interpolacja funkcjami sklejanymi polega na „łączeniu punktów”, w każdym odcinku przybliżamy funkcję wielomianem ustalonego (niskiego) stopnia, tak aby funkcja przybliżająca była ciągła wraz z pochodnymi na przedziale interpolacji [a,b]

Interpolacja funkcjami sklejanymi stopnia pierwszego

Załóżmy, że dysponujemy zbiorem n+1 węzłów interpolacji wraz z wartościami funkcji

(x₀,y₀), (x₁,y₁), ..., (x_n,y_n). W przypadku wielomianowych metod interpolacji może się zdarzyć,

że charakter interpolowanej funkcji uniemożliwia dobre odwzorowanie za pomocą

wielomianu interpolującego. Możemy w takich przypadkach spróbować zastosować liniową

interpolację pomiędzy poszczególnymi węzłami:

s_k(x)=y_k+d_k(x-x_k)      gdzie   

W ten sposób otrzymamy zestaw funkcji interpolujących przebieg pomiędzy węzłami

dzielącymi przedział interpolacji na podprzedziały. Sklejając te funkcje razem otrzymamy

funkcję interpolującą następującej postaci:

Można zwrócić uwagę na to, że pochodna funkcji s(x) jest nieciągła we wszystkich punktach

x_k dla k=1,...,n-1

 

Interpolacja liniowa

Interpolacja liniowa: [łac.], [mat] wyznaczanie funkcji w zadanym przedziale na podstawie przyjmowanych przez nią wartości w pewnych punktach tego przedziału.

Mając dowolne dwa punkty A1, A2 możemy poprowadzić przez nie prostą i obliczyć jej równanie. Da nam to możliwość określenia wartości dla dowolnego argumentu X.



Ogólne równanie prostej ma postać:


Współczynnik kierunkowy prostej a:


Parametr b:


Przykładowa funkcja dla Delphi/Pascal:

 
function Interpolacja(X1,Y1, X2,Y2, X : Double) : Double;
{ interpolacja liniowa }
var 
  a, b : Double;
begin
 { współczynnik kierunkowy prostej }
 a := (Y2 - Y1) / (X2 - X1);
 { parametr b }
 b := ((-X1) * (Y2 - Y1) - (X2 - X1) * (-Y1)) / (X2 - X1);
 Interpolacja := a * X + b;
end;
 
// sposób użycia:
y := Interpolacja(1,100, 2,200, 50); { y = 5000 } 

KLIKNIJ 

http://dydaktyka.polsl.pl/kwmimkm/Inerpolacja_czebyszewa_trygonometryczna.pdf