Metody iteracyjne.

Metody iteracyjne

M.i. służą do przybliżonego rozwiązywania układów równań. Rozwiązanie otrzymuje się w wyniku pewnego postępowania sekwencyjnego, przy czym w każdym jego kroku uzyskuje się przybliżenie szukanego rozwiązania. Punktem wyjścia jest odgadnięte pierwsze przybliżenie niewiadomych H, np. H1 … Hn które można zapisać jako wektor «H«(⁰). Pierwszy krok algorytmu prowadzi do nowego wektora «H»(¹).Po k krokach otrzymuje się wektor «H»(^k) i następny krok prowadzi do «H»(^k+1). Aby iteracja miała sens, proces musi być zbieżny, to znaczy kolejne wyrazy ciągu «H»(^k) muszą zdążać do ścisłego rozwiązania wyjściowego układu równań, gdy k zdąża do nieskończoności. Do m.i. należą: → schemat jawny, → schemat uwikłany, → Cranka-Nicholsona schemat, → Jacobiego metoda, → Gaussa-Seidela metoda, → metoda zmiennych kierunków.[MR]  

Literatura 

http://hektor.umcs.lublin.pl/~beatas/met_iter.pdf

Przykłady:

Metoda Jacobiego

W metodzie tej układ równań liniowych:

A11X1 + A12X2 +...+ A1nXn = B1
A21X1 + A22X2 +...+ A2nXn = B2

Am1X1 + Am2X2 +...+ AmnXn = Bm

lub w postaci macierzowej
A x = b
Przekształcić należy do postaci:
X1 = G1 + H11X1 + H12X2 +...+ H1nXn
X2 = G2 + H21X1 + H22X2 +...+ H2nXn

Xn = Gn + Hn1X1 + Hn2X2 +...+ HnnXn

lub w notacji macierzowej
x = g + H x
gdzie:

Metoda Gaussa - Seidela

Metoda ta różni się od metody Jacobiego jedynie innym sposobem wyznaczania wektora x^(k). Element x^k₁ wyznacza się tak samo, jak w metodzie Jacobiego, pozostałe zaś elementy wektora x^(k)oblicza się korzystając zarówno z wartości wektora x^(k-1), jak i z wyznaczonych już elemtów wektora x^(k).
Wektor x^(k) wyznacza się w oparciu o wyrażenie

Przykłady

Przykład 1

Układ równań:

4X1 - x2 - x3 + 0 = 1
-X1 + 4X2 + X3 - X4 = 2
-X1 + 0X2 + 4X3 - x4 = 0
0X1 - X2 - X3 + 4X4 = 1

Rozwiązanie metodą Jacobiego:

KROK 1

• x₁ = 0,25

x₂ = 0,5

KROK 2

• x₁ = 0,375

Rozwiązanie metodą Gaussa - Seidela:

KROK 1

• x₁ = 0,25

KROK 2

• x₁ = 0,40625

Wynik

• x1 = 0,5
• x2 = 0,75
• x3 = 0,25
• x4 = 0,5

Przykład 2

Układ równań:

X1 + 0,5X2 + X3 + 0,2X4 = 5,2
0,1X1 + 3X2 + 0,2X3 + 0,4X4 = 7,1
0,3X1 + X2 + 2X3 + 2X3 + X4 = 9,3
X1 + 0,5X2 + 0,2X3 + 3X4 = 5,6

Rozwiązanie:

• x1 = 1
• x2 = 2
• x3 = 3
• x4 = 1

x₃ = 0

x₄ = 0,25

x₂ = 0,625

x₃ = 0,125

x₄ = 0,375

x₂ = 0,5625

x₃ = 0,0625

x₄ =0 ,40625

x₂ = 0,70312

x₃ = 0,20312

x₄ = 0,47656